干货丨高中数学48种快速做题方法

备考须知来源：网络编辑：坚果 2023-05-30 15:14:26

　数学一直是大多数同学比较头疼的问题，特别是一到高中，数学成绩下降了以后就很难提高，很多同学都在找一些比较快速提高数学的办法，小编收集了48种快速做题的方法。数学不好的同学们可以收藏起来哦。一定会有帮助的。

　　1.适用条件：

　　[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1.

　　注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。

　　2.函数的周期性问题(记忆三个)：

　　(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;

　　(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;

　　(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。

　　注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。

　　3.关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：

　　(1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;

　　(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;

　　(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称

　　4.函数奇偶性：

　　(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;

　　(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项

　　(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空

　　5.数列爆强定律：

　　(1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);

　　(2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4.等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q

　　6.数列的终极利器，特征根方程。(如果看不懂就算了)。首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数)

　　7.函数详解补充：

　　(1)复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外

　　(2)复合函数单调性：同增异减

　　(3)重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0.根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。

　　8.常用数列bn=n×(2²n)求和Sn=(n-1)×(2²(n+1))+2记忆方法：前面减去一个1.后面加一个，再整体加一个2

　　9.适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：

　　k椭=-{(b²)xo｝/{(a²)yo｝k双={(b²)xo｝/{(a²)yo｝

　　k抛=p/yo

　　注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。

　　10.强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技：已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;

　　若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了防止两直线重合)

　　注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀!

　　11.经典中的经典：相信邻项相消大家都知道。下面看隔项相消：对于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)] =1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]

　　注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。自己把式子写在草稿纸上，那样看起来会很清爽以及整洁!

　　12.爆强△面积公式：S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题!

　　13.你知道吗?空间立体几何中，以下命题均错：

　　(1)空间中不同三点确定一个平面;

　　(2)垂直同一直线的两直线平行;

　　(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

　　(4)如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面;

　　(5)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱;

　　(6)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥注：对初中生不适用。

　　14.一个小知识点：所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。

　　15.求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小值。

　　答案为：当n为奇数，最小值为(n²-1)/4.在x=(n+1)/2时取到;当n为偶数时，最小值为n²/4.在x=n/2或n/2+1时取到。

　　16.√〔(a²+b²)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b为正数，是统一定义域)

　　17.椭圆中焦点三角形面积公式：S=b²tan(A/2)

　　在双曲线中：S=b²/tan(A/2)

　　说明：适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。

　　18.爆强定理：空间向量三公式解决所有题目：

　　cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模]|

　　A为线线夹角;A为线面夹角(但是公式中cos换成sin);A为面面夹角注：以上角范围均为[0.派/2]。

　　19.爆强公式1²+2²+3²+…+n²=1/6(n)(n+1)(2n+1);

　　1²3+2²3+3²3+…+n²3=1/4(n²)(n+1)²

　　20.爆强切线方程记忆方法：写成对称形式，换一个x，换一个y。

　　举例说明：对于y²=2px可以写成y×y=px+px再把(xo，yo)带入其中一个得：y×yo=pxo+px

　　21.爆强定理：(a+b+c)²n的展开式[合并之后]的项数为：Cn+22.n+2在下，2在上

　　22.[转化思想]切线长l=√(d²-r²)d表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。

　　23.对于y²=2px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。

　　爆强定理的证明：对于y²=2px，设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/〔(sinA)²〕，所以与之垂直的弦长为2p/[(cosA)²]，所以求和再据三角知识可知。(题目的意思就是弦AB过焦点，CD过焦点，且AB垂直于CD)

　　24.关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强：∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

　　25.关于解决证明含ln的不等式的一种思路：

　　举例说明：证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。

　　解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，则bn=ln(n+1)-lnn，那么只需证an>bn即可，根据定积分知识画出y=1/x的图。an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明1>ln2.

　　注：仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln。

　　26.爆强简洁公式：向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。记忆方法：在哪投影除以哪个的模

　　27.说明一个易错点：若f(x+a)[a任意]为奇函数，那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕，同理如果f(x+a)为偶函数，可得f(x+a)=f(-x+a)牢记!

　　28.离心率爆强公式：e=sinA/(sinM+sinN)注：P为椭圆上一点，其中A为角F1PF2.两腰角为M，N

　　29.椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值问题。比如x²/4+y²=1求z=x+y的最值。解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!

　　30.[仅供有能力的童鞋参考]]爆强公式：

　　和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

　　积化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

　　31.爆强定理：直观图的面积是原图的√2/4倍。

　　32.三角形垂心爆强定理：

　　(1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O为三角形外心，H为垂心)

　　(2)若三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。

　　33.维维安尼定理(不是很重要(仅供娱乐))，--正三角形内(或边界上)任一点到三边的距离之和为定值，这定值等于该三角形的高。

　　34.爆强思路：如果出现两根之积x1x2=m，两根之和x1+x2=n，我们应当形成一种思路，那就是返回去构造一个二次函数，再利用△大于等于0.可以得到m、n范围。

　　35.常用结论：过(2p，0)的直线交抛物线y²=2px于A、B两点。O为原点，连接AO.BO。必有角AOB=90度

　　36.爆强公式：ln(x+1)≤x(x>-1)该式能有效解决不等式的证明问题。

　　举例说明：ln(1/(2²)+1)+ln(1/(3²)+1)+…+ln(1/(n²)+1)<1(n≥2)。证明如下：令x=1/(n²)，根据ln(x+1)≤x有左右累和右边再放缩得：左和<1-1/n<1证毕!

　　37.函数y=(sinx)/x是偶函数。在(0.派)上它单调递减，(-派，0)上单调递增。利用上述性质可以比较大小。

　　38.函数y=(lnx)/x在(0.e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减。另外y=x²(1/x)与该函数的单调性一致。

　　39.几个数学易错点：

　　(1)f`(x)<0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件;

　　(2)在研究函数奇偶性时，忽略最开始的也是最重要的一步：考虑定义域是否关于原点对称!

　　(3)不等式的运用过程中，千万要考虑"="号是否取到!

　　(4)研究数列问题不考虑分项，就是说有时第一项并不符合通项公式，所以应当极度注意：数列问题一定要考虑是否需要分项!

　　40.提高计算能力五步曲：

　　(1)扔掉计算器;

　　(2)仔细审题(提倡看题慢，解题快)，要知道没有看清楚题目，你算多少都没用;

　　(3)熟记常用数据，掌握一些速算技巧;

　　(4)加强心算，估算能力;

　　(5)[检验]!

　　41.一个美妙的公式：爆强!已知三角形中AB=a，AC=b，O为三角形的外心，则向量AO×向量BC(即数量积)=(1/2)[b²-a²]强烈推荐!证明：过O作BC垂线，转化到已知边上

　　42.(1)函数单调性的含义：大多数同学都知道若函数在区间D上单调，则函数值随着自变量的增大(减小)而增大(减小)，但有些意思可能有些人还不是很清楚，若函数在D上单调，则函数必连续(分段函数另当别论)这也说明了为什么不能说y=tanx在定义域内单调递增，因为它的图像被无穷多条渐近线挡住，换而言之，不连续。

　　还有，如果函数在D上单调，则函数在D上y与x一一对应。这个可以用来解一些方程。至于例子不举了。

　　(2)函数周期性：这里主要总结一些函数方程式所要表达的周期设f(x)为R上的函数，对任意x∈R：

　　①f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加绝对值，下同)

　　②f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)

　　③f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a

　　④设T≠0.有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)满足M[M(x)]=x,且M(x)≠x则函数的周期为2

　　43.奇偶函数概念的推广：

　　(1)对于函数f(x)，若存在常数a，使得f(a-x)=f(a+x)，则称f(x)为广义(Ⅰ)型偶函数，且当有两个相异实数a，b满足时，f(x)为周期函数T=2(b-a)

　　(2)若f(a-x)=-f(a+x)，则f(x)是广义(Ⅰ)型奇函数，当有两个相异实数a，b满足时，f(x)为周期函数T=2(b-a)

　　(3)有两个实数a，b满足广义奇偶函数的方程式时，就称f(x)是广义(Ⅱ)型的奇，偶函数。

　　且若f(x)是广义(Ⅱ)型偶函数，那么当f在[a+b/2.+∞)上为增函数时，有f(x1)

　　44.函数对称性：